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八上数学借助【角平分线】造全等
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2024-01-05
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简介：
【一】如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD，DC+AE =AC 证明：∵∠B=60°, ∴∠BAC+∠BCA=120°; ∵AD,CE均为角平分线, ∴∠OAC+∠OCA=60°=∠AOE=∠COD; ∴∠AOC=120°. 在AC上截取线段AG=AE,连接OG. 又∵AO=AO;∠OAE=∠OAG ∴△OAE≌ΔOAG(SAS), ∴OE=OG；AE=AG；∠AOG=∠AOE=60°. ∴∠COG=∠AOC-∠AOG=60°=∠COD; 又∵CO=CO;∠OCD=∠OCG. ∴△OCD≌ΔOCF(SAS), ∴OD=OG；CD=CG. ∴OE=OD ∴DC+AE=CG+AG=AC. 【二】如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM＝PN. 证明：∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠CBD. 在△ABD和△CBD中， ∴△ABD≌△CBD(SAS)． ∴∠ADB＝∠CDB，即BD平分∠ADC ∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM＝PN.