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简介：
方法一
倍长法构造三角形的中位线
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，M为AF的中点，求证：ME＝1/2CF.
证明：如图，延长FE至N，使EN＝EF，连接BN，AN.易得ME＝1/2AN.
∵EF＝EN，∠BEF＝90°，
∴BE垂直平分FN.∴BF＝BN.
∴∠BNF＝∠BFN.
∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，
∴∠BFN＝45°.∴∠BNF＝45°，
∴∠FBN＝90°，即∠FBA＋∠ABN＝90°.
又∵∠FBA＋∠CBF＝90°，
∴∠CBF＝∠ABN.
在△BCF和△BAN中，
∴△BCF≌△BAN.
∴CF＝AN. ∴ME＝1/2AN＝1/2CF.
方法二
已知一边中点，取另一边中点构造三角形中位线
如图，在△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，E，F分别为CA，CB上一点，CE＝CF，M，N分别为AF，BE的中点，求证：AE＝MN.
证明：如图，取AB的中点H，连接MH，NH，则MH＝1/2BF，NH＝1/2AE.
∵CE＝CF，CA＝CB，
∴AE＝BF.
∴MH＝NH.
∵点M，H，N分别为AF，AB，BE的中点，
∴MH∥BF，NH∥AE.
∴∠AHM＝∠ABC，∠BHN＝∠BAC.
∴∠MHN＝180°－(∠AHM＋∠BHN)
＝180°－(∠ABC＋∠BAC)＝90°.
∴NH＝√2/2MN.
∴AE＝2NH＝2×√2/2MN＝√2MN.
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