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简介：
【条件】四边形ABDC如上左图所示.
【结论】∠D=∠A+∠B+∠C.(凹四边形凹外角等于三个内角和)
【证明】如上右图，连接AD并延长到E，则：
∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)
=∠B+∠BAC+∠C.本质为两个三角形外角和定理证明.
【例一】阅读下列材料，然后解答后面的问题．
（1）定义：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．如图1，四边形ABCD为凹四边形．
（2）性质探究：请完成凹四边形一个性质的证明．
已知：如图2，四边形ABCD是凹四边形．
求证：∠BCD＝∠B+∠A+∠D．
解：延长BC交AD于点M
∵∠BCD是△CDM的外角，
∴∠BCD＝∠CMD+∠D，
同理∠CMD是△ABM的外角，
∴∠CMD＝∠A+∠B，
∴∠BCD＝∠A+∠B+∠D．
（3）性质应用：
如图3，在凹四边形ABCD中，∠BAD的角平分线与∠BCD的角平分线交于点E，若∠ADC＝140°，∠AEC＝102°，则∠B＝64°.
解：如图3中，设∠B＝x，
∠ECB＝∠ECD＝α，∠EAD＝∠EAB＝β．
由（2）可知，
102+α+β=140，x+α+β=102，
解得x＝64°．
【例二】（1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．
解：作射线OA，
∵∠3是△ABO的外角，
∴∠1+∠B＝∠3，①
∵∠4是△AOC的外角，
∴∠2+∠C＝∠4，②
①+②得，∠1+∠B+∠2+∠C＝∠3+∠4，
即∠BOC＝∠A+∠B+∠C．
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